Credits: Kavli IPMU

Introduzione

Una collaborazione tra un matematico e un fisico ha dimostrato che le forme modulari associate alle curve ellittiche con moltiplicazioni complesse sono espresse in termini di osservabili nella teoria delle superstringhe.

I dettagli di questo studio sono stati pubblicati il ​​22 febbraio 2019 in Communications in Mathematical Physics .

Figura 1. Estensione del concetto di “numeri” integrali. 
I punti neri sono gli interi ordinari mostrati in un piano complesso. L’aggiunta o la moltiplicazione di qualsiasi coppia di punti neri finisce con un altro punto nero. Tutti i punti rossi e i punti blu in questa figura sono soluzioni ad alcune equazioni quadratiche con coefficienti interi. I punti viola sono soluzioni ad alcune equazioni quartiche con coefficienti interi. Quindi, possiamo pensare a quei punti anche come parte di “numeri”.
Le operazioni di addizione e moltiplicazione tra punti neri o rossi rimangono all’interno dei “numeri” mostrati in punti neri o rossi, e allo stesso modo, quelle operazioni dei punti nero-rosso-blu-o-viola rimangono all’interno dei “numeri” in nero punti rossi blu o viola. In questo modo è possibile espandere l’insieme dei “numeri” integrali gradualmente. (Credits: Kavli IPMU)
Figura 2. Un oggetto geometrico dato da y^2 = 4x^3 – x è mostrato da una sottile curva blu. In questo oggetto, i tre punti neri hanno i loro valori negli interi ordinari. D’altra parte, i tre punti in triangoli rossi hanno i loro valori in un insieme più esteso di “numeri” (le coordinate x sono della forma (p + q sqrt {2}) con numeri razionali p e q; y le coordinate sono più complicate). 
Man mano che il concetto di “numeri” viene esteso, il numero di punti con i loro valori nei “numeri” aumenta, anche per un dato oggetto geometrico. (Credits: Kavli IPMU)

I “numbers”

Il concetto di numeri può essere esteso dai numeri interi e razionali per includere tutti i numeri reali e numeri complessi, tutto in una volta. Ma è anche possibile estendere gradualmente il concetto aggiungendo a poco a poco le radici dei polinomi con i coefficienti dei numerici razionali (come la radice quadrata di 2 e la radice quadrata di 3) (Figura 1). Questa speciale classe di numeri complessi viene definita “numbers“. I dettagli precisi su come estendere il concetto dei numeri sono stati considerati come uno dei temi più importanti nella teoria dei numeri.

Per diversi decenni, i ricercatori hanno cercato di affrontare e comprendere questo problema. Si potrebbe specificare un oggetto geometrico mediante equazioni utilizzando prima i “numeri”, quindi considerare l’insieme di punti nell’oggetto geometrico i cui valori sono i “numeri”. Man mano che il concetto di numeri viene progressivamente esteso e l’insieme dei “numeri” si espande, vengono contati sempre più punti nell’oggetto geometrico (Figura 2). 

L’idea è che il modo in cui aumenta il numero di punti nell’oggetto geometrico farà luce su come si espande l’insieme dei “numeri”. Inoltre, questa informazione sul tasso di crescita del numero di punti nell’oggetto geometrico è racchiusa in una funzione chiamata the inverse Mellin transform of the L-function, che è una funzione che contiene le informazioni su quanto velocemente cresce il numero di punti in un oggetto geometrico man mano che il concetto di numeri viene esteso. 

Ci si aspettava che questa funzione fosse una forma modulare, una funzione che rimane invariante in determinate operazioni. Questa congettura è nota come Langlands conjecture.

Il quesito

Taizan Watari, Professore associato e teorico delle particelle presso il Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the Universe (Kavli IPMU) nonchè ricercatore di geometria aritmetica presso il Middle East Technical University Northern Cyprus Campus e lo scienziato in visita al Kavli IPMU Satoshi Kondo, hanno osato chiedersi perché tali funzioni siano invarianti in determinate operazioni.

Nella teoria delle stringhe, è noto che una classe di osservabili (a) sono invarianti rispetto alle operazioni (x) a cui è già stato fatto riferimento. L’invarianza sotto le operazioni è una proprietà indispensabile nella costruzione della teoria delle superstringhe. Quindi, i ricercatori hanno dimostrato che le inverse Mellin transforms of the L-functions degli oggetti geometrici (b) sono espresse in termini della classe di osservabili di cui sopra (a) nella teoria delle superstringhe con quegli oggetti geometrici impostati come spazi target. 

Di conseguenza, le funzioni contenenti le informazioni su come viene esteso il concetto di numeri (inverse Mellin transforms) (b) dovrebbero essere invarianti in determinate operazioni, che dovrebbero essere forme modulari, (x) per ragioni dal punto di vista prospettico della teoria delle superstringhe.

Va sottolineato che il risultato sopra è ottenuto solo per la classe di oggetti geometrici chiamati curve ellittiche con moltiplicazioni complesse. Rimane aperta la questione se le funzioni per una classe più generale di oggetti geometrici (b) siano espresse in termini di osservabili nella teoria delle superstringhe (a).

Figura 3. Riepilogo di questo studio. (Credits: Kavli IPMU)

Citazioni e Approfondimenti