Grandezze scalari e grandezze vettoriali

Nel primo articolo (clicca quì) abbiamo visto quali sono le grandezze fisiche e come si misurano. Ma ora è importante fare una importante distinzione, ossia quelle tra due tipi di grandezze: quelle scalari e quelle vettoriali.
1- Le grandezze scalari sono quelle che risultano essere completamente descritte da un numero che ne rappresenta il valore. Quindi per indicare questo tipo di grandezza basterà rappresentare il valore numerico accompagnato dalla relativa unità di misura. Ad esempio: lunghezza di intervallo di tempo è 5 secondi o ancora la temperatura di una stanza è di 20 gradi centigradi (20°C). Tale valore numerico si chiama “modulo” o “intesità
2- Le grandezze vettoriali sono quelle grandezze che per essere definite non è sufficiente solo il modulo ma hanno bisogno anche di altri parametri e sono rappresentate mediante una figura geometrica che si chiama “vettore”; lo sono ad esempio la velocità e la forza.

Il vettore

Il vettore lo possiamo definire come l’insieme di tutti i segmenti orientati aventi uguali direzione, verso e modulo:

  • la direzione, cioè la retta su cui giace il vettore
  • il verso, cioè l’orientamento corrispondente alla freccia del segmento orientato
  • il modulo o intensità, cioè la lunghezza del segmento.
  • Il punto da cui origina il segmento è detto punto di applicazione (o origine).
Rappresentazione grafica

Tipico esempio è quello di una automobile che viaggia a 120 km/h, percorrendo l’autostrada A1 (direzione) per andare a Firenze (verso)
Un vettore viene indicato secondo la c.d. notazione vettoriale; esso può essere rappresentato da una lettera con una freccia sopra o con una lettera scritta in grassetto (metodo che utilizzeremo noi).
Se poi si vuole indicare un vettore che ha come primo estremo A e secondo estremo B si scrivere AB ( o come già detto se si preferisce con una freccia sopra).

Due vettori si dicono equipollenti se hanno lo stesso modulo, la stessa direzione, lo stesso verso; se hanno stesso modulo, stessa direzione ma verso contrario si diranno che sono opposti. La relazione che lega due vettori equipollenti è una relazione d’equivalenza dal momento che l’equipollenza tra vettori è:

  • riflessiva, siccome ogni vettore è equipollente a se stesso;
  • simmetrica, siccome se AB è equipollento a CD allora CD è equipollente ad AB;
  • transitiva, siccome se AB è equipollento a CD e CD è equipollente a EF, allora AB è equipollente ad EF

Quando il modulo del vettore è pari a 0 e con direzione e verso indeterminati, si parla di vettore nullo e si indica con 0 (o con uno 0 e la freccia scritta sopra).

Chiamiamo componenti del vettore AB le misure con segno dei segmenti AC e CD paralleli a quelli degli assi coordinati, con la precisazione di assegnare il segno + alle misure dello spostamento avente lo stesso verso degli assi coordinati e segno – se il verso opposto a quello degli assi coordinati.

E’ possibile effettuare anche operazioni fondamentali con i vettori come la somma, la differenza e il prodotto.

Somma di vettori

Detta anche composizione di vettori abbiamo i vettori addendi che prendono il nome di vettori componenti, il vettore somma è detta risultante. Possiamo distinguere tra casi:

  1. i vettori A e B hanno uguale direzione e verso: il vettore A+B sarà il vettore R che avrà la medesima direzione e verso e per modulo la somma dei moduli dei due vettori.
  2. i vettori A e B hanno uguale direzione ma verso opposto: in questo caso la risultante R sarà quel vettore che avrà per direzione la stessa direzione dei due vettori, per modulo la differenza dei moduli, importante è che per verso avrà il verso del vettore addendo di modulo maggiore.
  3. i vettori A e B hanno medesimo verso ma direzione diversa, in questo caso si usa la famosa regola del parallelogramma:
regola del parallelogramma

Questo metodo è molto semplice, consiste innanzitutto nel tracciare le due parallele: una retta parallela al vettore A ed una al vettore B che ovviamente si intersecheranno diciamo nel punto C. Ebbene la somma dei due vettori A e B, quindi la risultante R non sarà altro che il vettore che avrà come primo estremo il punto di applicazione P e come secondo estremo il punto C.
Quindi supponendo di avere due forze F1 ed F2 la risultante R sarà uguale ad F1+F2

A riguardo Isaac Newton, nella sua opera “Philosophiae naturalis principia mathematica” del 1862, nel primo corollario alle leggi del moto scrive: “un corpo spinto da due forze congiunte descriverà la diagonale di un parallelogramma nello stesso tempo nel quale descriverebbe separatamente i lati”.

Nel caso di somma di più vettori, grazie alla validità della proprietà associativa, si può determinare scegliendo per ogni addendo il vettore equipollente avente il primo estremo nell’estremo finale dell’addendo precedente: la somma è il vettore avente il primo estremo nel punto iniziale del primo addendo e l’estremo finale nel secondo estremo dell’ultimo addendo.
In altre parole la somma di tre o più vettori può essere eseguita con la regola del parallelogramma componendo i vettori a due a due e successivamente le loro risultanti fino ad ottenere un unico vettore finale.

Prodotto fra vettori

Il prodotto fra un vettore e uno scalare: in questo caso la risultante R del prodotto tra il vettore A e lo scalare a sarà un vettore che avrà direzione e verso di A mentre per modulo il prodotto del modulo di A con il valore di a.

Vi sono anche altre applicazione della moltiplicazione nel calcolo con i vettori ossia il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale dove la differenza sarà che nel primo caso la risultante ha natura scalare nel secondo caso invece vettoriale, come si può facilmente intuire.

Il prodotto scalare tra due vettori A e (A*B, A scalare B) viene definito come uno scalare dato dal prodotto del modulo di A e la proiezione di B nella direzione di A. Trigonometricamente viene definito la scalare R dato dal prodotto fra il modulo dei due vettori e il coseno dell’angolo compreso tra le direzioni dei due vettori:

esempi di prodotto scalare

Il prodotto vettoriale tra due vettori A e B (A^B, A vettore B) è definito come il vettore R avente modulo pari all’area del parallelogramma di cui A e B sono i lati, direzione perpendicolare al piano del parallelogramma e verso della parte della testa di un osservatore che, posto in piedi sul piano che contiene il parallelogramma, vede A sovrapporsi a B ruotando in senso antiorario. Dal punto di vista trigonometrico, il modulo di R può anche essere definito come dato dal prodotto fra il modulo dei de vettori e il valore del seno dell’angolo compreso fra le direzioni dei due vettori.
Inoltre il prodotto vettoriale gode della proprietà anticommutativa: axb= -axb

prodotto vettoriale